数学

利息生利息，增长在时间维度上呈指数级加速——第八大奇迹。关键不是利率多高，而是时间多长和永不中断。

世界是不确定的，用概率而非「必然/不可能」来估计结果，并据此决策——不追求正确，追求概率上占优。

只看到经过筛选后幸存下来的样本，忽略了被淘汰的沉默大多数，从而得出错误结论。

用新证据更新信念：先有初始判断，看到新证据后，按贝叶斯公式更新概率。

新证据出现时，用先验概率 × 证据似然度来理性更新信念，而非全盘推翻或固守。

极端表现之后通常会回到平均水平——不是因为你做了什么，而是因为极端值本来就不可持续。

样本量越大，统计结果越接近真实概率——抛 10 次硬币可能 8 次正面，但抛 10000 次会接近 50%。

在有正期望值的重复赌局中，最优下注比例是 f* = (bp - q)/b——最大化长期财富增长率，同时避免破产。

既有局部聚集又有短路径：大多数连接是局部的，少数长连接大幅缩短任意两点的距离。

从数据中推断因果关系：用随机实验、自然实验、匹配等方法，区分相关和因果。

用变量预测另一个变量：建立自变量和因变量之间的数学关系，用于预测和解释。

把相似的对象分组：无监督学习方法，根据相似度把对象分成不同的簇。

用数据判断假设是否成立：提出原假设和备择假设，用统计量判断是否拒绝原假设。

模拟蚂蚁觅食的优化算法：蚂蚁通过信息素找到最短路径，模拟这个过程解决复杂优化问题。

模拟生物进化的优化算法：通过选择、交叉、变异操作，在解空间中搜索最优解，适合复杂优化问题。

当问题太复杂无法精确求解时，用大量随机抽样来估算概率分布——让计算机帮你「试一万次」。

无论原始分布是什么形状，大量独立随机变量的和/均值会趋近于正态分布——这是统计推断的基石。

无限只猴子在无限时间内随机敲键盘，几乎必然能敲出莎士比亚全集——小概率事件在无限次重复后必然发生。